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とある数学科のブログ

勉強したこと、考えたことをつらつらとまとめるとある数学科の人間のブログです。

平方剰余について 1

こんばんは。

 

ここ数日平方剰余について勉強していたのでそのまとめを少ししていこうかなと思います。

ちなみにですが読んでいる本は河田敬義先生の数論ー古典数論から類体論へー、元は岩波講座基礎数学としてでていた本、です。今後もこれで勉強したことのまとめになるかなと思います。

 

本題に入りますが、平方剰余は次の通りです

 

 合同式

      x^2 \equiv a \mod m,  (a,m)=1

x について整数根を持つとき、am の平方剰余であるという

 

 見ての通り a は平方剰余になるか、ならないかの二択なので整数から {1,-1} への写像が作れそうです、それが Legendre の記号です、定義は以下の通りです。

 

整数 a  ( ただし (a,p)=1 ) が素数 p を法として平方剰余であるとき

         \left (\frac{a}{p} \right )= 1

そうでないときは

      \left (\frac{a}{p} \right )= -1

と表す

 

Legendre 記号は以下の性質を満たします。

  (ⅰ)\          a \equiv\ b \mod p \ ( (a,p)=(b,p)=1 )なら

            \left (\frac{a}{p} \right )=\left (\frac{b}{p} \right )

       (ⅱ)\         \left (\frac{ab}{p} \right )=\left (\frac{a}{p} \right )\left (\frac{b}{p} \right ) \            (ab,p)=1

 

以上の性質より \left (\frac{}{p} \right ) \left(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \right)^\times  から \{1,-1\} への  well-defined な群準同型写像となります。

 

平方剰余に関する一つの問題に、法mが与えられたときにどのような am の平方剰余であるか、というのがあります。

 

m=2,4,p  (ただし p \neq 2 )のときは考えればすぐにわかります。また

m=p^e ,(e \ge 2) のときは

     aが平方剰余\Leftrightarrow \left (\frac{a}{p} \right )= 1

が、

m=2^e ,(e \ge 3) のときは

     aが平方剰余\Leftrightarrow a\equiv 1  \mod 8 

が成立します。

さて一般の m の場合ですが、m=p^{e_1}_{1}p^{e_2}_{2}\dots p^{e_k}_{k}と表せば次のことが成立します。

     aが平方剰余\Leftrightarrow \forall i=1,2, \dots, k , \exists x \in \mathbb{Z}   \ s,t     \ x^2 \equiv a \mod p^{e_i}_{i}  

このことの証明は本では省略されており、始め \Leftarrow の方がさっぱりわからず「ぐおおお」ってなりました。

しばらく考えましたが、各 i に対する合同方程式の解を x_i とすれば任意の i に対して  x\equiv x_i \mod p^{e_i}_{i} を満たす x が存在することが中国剰余定理からわかり、この xx^2 \equiv a \mod m を満たすってことで証明できたかと思われます。

 

これで上の問題はひと段落つきました。ということで平方剰余の相互法則についてはまた次にまとめることにしようかと思います。

 

にしてもTeX打ちって大変ですね、慣れるまで時間がかかりそうです。それでは今日はここで。おやすみなさい。